«ریاضی و ما: یادداشت دی ماه رئیس انجمن ریاضی ایران»
«ریاضی و ما: یادداشت دی ماه رئیس انجمن ریاضی ایران»
اخیراً قضیهای مقدماتی در نظریه اعداد ثابت کرده‌ام و آن را به چاپ رسانده‌ام. با توجه به شکل آن که در ریاضی نادر است، مشغول سربه‌سر گذاشتن با AI بودم. با سؤال کردن از Chatgpt این‌که آیا دو قضیه در ریاضی وجود دارند که هریک تعمیم دیگری باشد؟ حسابی AI را را پی نخود سیاه فرستادم، چون تا آنجا که من می‌دانم وجود چنین دو قضیهای نادرند و حداقل در منابع عنوان نشده‌اند. حتی دو قضیهای که معادل باشند، لزومأ تعمیم یک‌دیگر نیستند و به هرحال با بحثی که AI می‌کرد، مرا وادار کرد که قضیه خود را به اشتراک بگذارم. می‌دانیم که فرما اکثر قضایای خود را اثبات نمی‌کرد. مثلأ قضیه کوچک فرما را اولین بار اویلر با استقراء اثبات کرد و بعداً او با معرفی تابع حسابی خود، قضیه فی اویلر را ثابت کرد که در حالت خاص قضیه کوچک فرما را به‌دست می‌دهد که البته همه از کاربرد و اهمیت قضیه فی اویلر در کریپتوگرافی هم آگاه‌اند. از آن به بعد قضیه فی اویلر در تمام کتاب‌های مقدماتی نظریه اعداد ظاهر شده است و بلافاصله در زیر آن به‌درستی تأکید می‌شود که این قضیه تعمیم قضیه کوچک فرما است. اخیرأ موفق شدم در مجله The Mathematical Gazette July 2024 نشان دهم که در حقیقت این دو قضیه یعنی قضیه فرما و قضیه اویلر تعمیم یک‌دیگرند که از زمان فرما-اویلر تا ظاهر شدن این قضیۀ من، از آن غفلت شده بود و در حقیقت قضیه کوچک فرما را بااهمیت‌تر می‌کند. اعتقاد راسخ دارم بیان نکردن بیشتر قضایا در ریاضی به شکل «اگر و تنها اگر» در منابع باعث شده که ما این‌گونه قضایا را عمیق نفهمیم و فقط آنها را حداکثر خوب یاد بگیریم و کاری به چرائی‌ها در بیان قضایا و اثبات‌ها نداشته باشیم. اولین بار در سی و سومین کنفرانس ریاضی کشور در مشهد مفصل به این مهم تحت عنوان «عکس نتایج را باید بر عکس کذشتگان دریابیم» پرداخته‌ام. آنجا ادعای بزرگی کردم و هنوز هم معتقد به آن هستم که از زمان اقلیدس تا آن زمان، کسی به این موضوع اشاره‌ای نکرده بود و در حقیقت خود اقلیدس این طرز فکر ناقص یعنی «اگرP آنگاه Q» را به‌جای «P اگر و تنها اگر Q» در صورت‌امکان برای بیان نتایج‌مان در ریاضی در ما نهادینه کرده است و شاید این طرز فکر بوده که باعث شده بود به قضیۀ من از زمان فرما – اویلر کسی اصلاً فکر نکند، زیرا روش اثبات من کاملاً مقدماتی و مربوط به آن دوران است. اخیراً در مقاله‌ام با عنوان «اگر و تنها اگر در ریاضی» هم در مجله ریاضی EMS 2023 (European Mathematical Society Magazine) مربوط به انجمن ریاضی اروپا به اهمیت این موضوع به‌طور مفصل پرداخته‌ام و با مثال‌زدن اشاره کرده‌ام که چگونه غفلت در به‌کار نبردن «اگر و تنها اگر» در بیان بعضی از قضایا و مسائل ممکن است باعث گمراهی بعضی از افراد و حتی ریاضی‌دانان برجسته در مواردی که به چنین نتایجی می پردازند، شود.